在數學物理中，拉普拉斯方程式（Laplace's equation）$\nabla^2 \Phi = 0$ 在不同坐標系下的通解通常透過分離變數法（Separation of Variables）求得。
以下為您整理直角坐標系、圓柱坐標系、球坐標系，以及幾種常見正交曲線坐標系（橢球、雙曲、拋物線）下的拉普拉斯方程式形式與通解結構。
1. 直角坐標系 (Cartesian Coordinates) $(x, y, z)$
方程式：
$$\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 0$$通解形式：
設分離常數滿足 $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 0$（其中必有虛數或複數），其通解為一系列指數或三角函數的乘積組合：
$$\Phi(x,y,z) = \sum_{\alpha,\beta} (A_\alpha e^{\alpha x} + B_\alpha e^{-\alpha x})(C_\beta e^{\beta y} + D_\beta e^{-\beta y})(E_\gamma e^{\gamma z} + F_\gamma e^{-\gamma z})$$(常見形式：若 $x, y$ 方向為束縛態，則為 $\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sinh(\gamma z)$ 類型的組合)
2. 圓柱坐標系 (Cylindrical Coordinates) $(\rho, \phi, z)$
方程式：
$$\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 0$$通解形式：
經分離變數 $\Phi = R(\rho)\Phi_k(\phi)Z(z)$ 後，$\phi$ 方向具週期性（設變數為 $\nu$），$z$ 方向為指數或雙曲函數（設變數為 $k$），$\rho$ 方向則滿足貝索方程式 (Bessel's Equation)：
$$\Phi(\rho, \phi, z) = \sum_{k} \sum_{\nu} \left[ A_{\nu k} I_\nu(kz) + B_{\nu k} K_\nu(kz) \right] \left[ C_\nu J_\nu(k\rho) + D_\nu Y_\nu(k\rho) \right] (E_\nu \cos\nu\phi + F_\nu \sin\nu\phi)$$$J_\nu, Y_\nu$ 為第一、二類變形或常規貝索函數。
若 $z$ 方向無相關性（二維圓柱），$\rho$ 方向解則退化為冪函數 $\rho^{\pm \nu}$ 與 $\ln\rho$。
3. 球坐標系 (Spherical Coordinates) $(r, \theta, \phi)$
方程式：
$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial \Phi}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} = 0$$通解形式：
角度部分（$\theta, \phi$）的解即為球諧函數 (Spherical Harmonics) $Y_\ell^m(\theta, \phi)$，徑向 $r$ 為冪函數：
$$\Phi(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \left( A_{\ell m} r^\ell + \frac{B_{\ell m}}{r^{\ell+1}} \right) Y_\ell^m(\theta, \phi)$$其中 $Y_\ell^m(\theta, \phi) = P_\ell^m(\cos\theta) e^{im\phi}$，$P_\ell^m$ 為連帶勒壤得多項式 (Associated Legendre Polynomials)。
4. 拋物線柱面與拋物線坐標系 (Parabolic Coordinates)
A. 拋物線柱面坐標系 $(\sigma, \tau, z)$
通解結構： 分離變數後，$z$ 方向為指數/三角函數，而 $\sigma$ 與 $\tau$ 方向的方程會轉化為拋物柱面函數 (Parabolic Cylinder Functions)，通常表示為 $D_p(x)$ 或韋伯函數 (Weber functions)。
B. 三維拋物線坐標系 $(\xi, \eta, \phi)$
方程式：
$$\frac{4}{\xi + \eta} \left[ \frac{\partial}{\partial \xi} \left( \xi \frac{\partial \Phi}{\partial \xi} \right) + \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \eta \frac{\partial \Phi}{\partial \eta} \right) \right] + \frac{1}{\xi\eta}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} = 0$$通解形式：
$\phi$ 方向依舊是 $\cos(m\phi)$ 與 $\sin(m\phi)$。$\xi$ 與 $\eta$ 方向的方程分離後，其解可以用合流超幾何函數 (Confluent Hypergeometric Functions) $M(a, c, x)$ 和 $U(a, c, x)$（或變形的貝索函數組合）來表示：
$$\Phi(\xi, \eta, \phi) = \sum_{m} \sum_{\lambda} f_{m,\lambda}(\xi) g_{m,\lambda}(\eta) (E_m \cos m\phi + F_m \sin m\phi)$$(其中 $f$ 與 $g$ 分別滿足含有分離常數 $\lambda$ 的合流超幾何微分方程)
5. 橢圓柱與橢球坐標系 (Elliptic / Ellipsoidal Coordinates)
A. 橢圓柱坐標系 $(\mu, \nu, z)$
通解結構：
在二維橢圓或橢圓柱坐標下，拉普拉斯方程分離變數後，角度與徑向方程會化為著名的馬丟方程 (Mathieu Equation)。
$$\Phi(\mu, \nu, z) = \sum_{n} [A_n \text{ce}_n(\mu, q) + B_n \text{se}_n(\mu, q)] [C_n \text{Ce}_n(\nu, q) + D_n \text{Se}_n(\nu, q)] e^{\pm kz}$$$\text{ce}_n, \text{se}_n$ 為常規馬丟函數（Mathieu functions）。
$\text{Ce}_n, \text{Se}_n$ 為變形馬丟函數（Modified Mathieu functions）。
B. 橢球坐標系 $(\lambda, \mu, \nu)$
橢球坐標系是拉普拉斯方程式能夠進行分離變數的最高階、最複雜的正交曲線坐標系（其餘如球坐標、圓柱等皆可視為它的退化極限）。
通解形式：
設橢球坐標變數為 $\lambda, \mu, \nu$（分別對應不同範圍的橢圓積分參數）。拉普拉斯方程分離變數後，三個方向滿足形式完全相同的微分方程——拉梅方程 (Lamé's Equation)：
$$\frac{d^2 E}{dx^2} + [A - n(n+1)\wp(x)]E = 0 \quad (\text{或代數形式})$$其通解由拉梅函數 (Lamé Functions) $E_n^m(x)$ 與第二類拉梅函數 $F_n^m(x)$ 組成：
$$\Phi(\lambda, \mu, \nu) = \sum_{n} \sum_{m} A_{nm} E_n^m(\lambda) E_n^m(\mu) E_n^m(\nu) + B_{nm} F_n^m(\lambda) E_n^m(\mu) E_n^m(\nu)$$(註：在實際重力場或電磁學計算中，通常會使用退化一點的「壓扁球坐標 Oblique Spheroidal」或「拉長球坐標 Prolate Spheroidal」，其解會退化為連帶勒壤得函數的複數形式變體)
6. 雙曲線坐標系 (Hyperbolic Coordinates)
雙曲線坐標通常指的是二維的雙曲坐標，或三維中的雙極坐標（Bispherical / Toroidal）。
通解結構：
以雙柱面坐標 (Bipolar Coordinates) $(\tau, \sigma, z)$ 為例，分離變數後，方程式在 $\tau$ 和 $\sigma$ 方向的解通常可以寫成：
$$\Phi(\tau, \sigma, z) = \sum_{n} (A_n \cosh n\tau + B_n \sinh n\tau) (C_n \cos n\sigma + D_n \sin n\sigma) Z(z)$$如果是環形坐標（Toroidal），解則會涉及到半整數階的連帶勒壤得函數（如 $P_{n-1/2}^m(\cosh \tau)$），這在處理兩個不Url等大球體接觸、或接觸導體球的靜電場問題時非常有用。
總結對照表
| 坐標系 | 分離變數後的核心特殊函數 | 適用物理場場景 |
| 直角 | 指數函數 $e^{kx}$、三角函數 $\sin(kx)$ | 盒子、無限大平面、平行板 |
| 圓柱 | 貝索函數 $J_\nu(kr)$、 $I_\nu(kr)$ | 導線、圓柱形波導、管道流 |
| 球 | 勒壤得多項式 $P_\ell^m(\cos\theta)$ | 原子軌域、地球重力場、點電荷 |
| 拋物線 | 合流超幾何函數、拋物柱面函數 | 斯塔克效應 (Stark effect)、拋物面反射鏡 |
| 橢圓/橢球 | 馬丟函數 (Mathieu)、拉梅函數 (Lamé) | 橢圓導線、三軸橢球體重力、裂紋應力 |
| 雙極/環形 | 雙曲函數、半整數階勒壤得函數 | 雙球導體、托卡馬克 (Tokamak) 環形場 |
\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 0- Φ(φ) = e^{imφ}（m 為整數，確保單值性）。
- Z(z) = e^{±γz} 或 sinh/cosh(γz) 或常數/線性。
- R(ρ) 滿足 Bessel 方程式：解為 Bessel 函數 J_m(γρ)、Y_m(γρ)（第二類可能在 ρ=0 處奇異）。
\Phi(\rho, \phi, z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_0^\infty \left[ A_m(\gamma) J_m(\gamma \rho) + B_m(\gamma) Y_m(\gamma \rho) \right] e^{im\phi} \left( C e^{\gamma z} + D e^{-\gamma z} \right) d\gamma\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial \Phi}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} = 0- Φ(φ) = e^{imφ}（m 整數）。
- Θ(θ)：關聯 Legendre 函數 P_l^m(cos θ)、Q_l^m。
- R(r) = A r^l + B r^{-(l+1)}。
\Phi(r, \theta, \phi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left( A_{lm} r^l + B_{lm} r^{-(l+1)} \right) Y_{lm}(\theta, \phi)- 橢圓柱坐標 (Elliptic Cylindrical: μ, ν, z)：類似圓柱但用 Mathieu 函數（Mathieu functions）。
- 分離後：徑向與角向部分滿足 Mathieu 方程式。
- 通解涉及 Mathieu cosine/sine 函數的組合 + z 方向（exp 或 trig）。
- 雙曲相關坐標：常與橢圓配對（常數 μ 為橢圓，常數 ν 為雙曲線）。解形式類似上述，涉及雙曲函數或修正 Bessel。
- 拋物柱坐標 (Parabolic Cylindrical: σ, τ, z) 或 3D 拋物坐標。
- Laplace 方程式可分離。
- 解涉及 Weber 函數 或 抛物柱函數 (parabolic cylinder functions)。
- 直角坐標 (Cartesian)：最簡單，Φ = (A x + B)(C y + D)(E z + F) 或 exp 形式（平面波類似）。
- 其他可分離系統（總共約 11-13 種在 3D）：如 toroidal、bispherical 等，涉及更專門的特殊函數。
- 通解是無窮級數/積分疊加，實際問題依邊界條件（如 Dirichlet）選擇項並定係數。
- 許多情況下使用 Green 函数或數值方法補充解析解。
- 特殊函數（如 Bessel、Legendre、Lamé、Mathieu）有遞迴關係與正交性，便於展開。
